【人教版】初中数学九年级上册: 关系判定：从位置关系到 d 与 r 的数量转化

几何研究的核心是将“直观的位置关系”转化为“精确的数量关系”。本课旨在通过建立圆心距 ($d$) 与半径 ($r$) 之间的代数关系，实现对直线与圆、圆与圆位置关系的定量判定，这是后续学习切线性质的逻辑基石。

数形结合的转化律

判定直线 $l$ 与 $\odot O$ 关系时，唯一标准是圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小比较：

判定圆与圆关系时，标准是圆心距 $d$ 与两圆半径 $r_1, r_2$ 的和差关系：

核心公式

外离：$d > r_1 + r_2$

外切：$d = r_1 + r_2$

相交：$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ ($r_1 \ge r_2$)

内切：$d = r_1 - r_2$ ($r_1 > r_2$)

内含：$d < r_1 - r_2$ ($r_1 > r_2$)

🎯 核心法则

位置关系的几何定义本质上反映了方程组解的个数。深刻理解“相切”这一临界状态 ($d=r$ 或 $d=r_1 \pm r_2$)，它是位置关系从“相离”向“相交”转化的逻辑拐点。

QUESTION 1

已知圆的直径是 $13\text{ cm}$，如果圆心与直线的距离 $d = 4.5\text{ cm}$，则直线与圆的位置关系及公共点个数为：

相交，2个公共点

相切，1个公共点

相离，0个公共点

相切，2个公共点

QUESTION 2

在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ, AC=3, BC=4$。以点 $C$ 为圆心，半径 $r=2.4$ 的 $\odot C$ 与 $AB$ 的位置关系是：

相离

相切

相交

不确定

QUESTION 3

将点 $P(x, y)$ 绕原点顺时针旋转 $90^\circ$，对应点的坐标是：

$(-y, x)$

$(y, -x)$

$(-x, -y)$

$(x, -y)$

QUESTION 4

$\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=50^\circ$, $\angle ACB=75^\circ$, 点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，则 $\angle BOC$ 的度数为：

$125^\circ$

$117.5^\circ$

$115^\circ$

$130^\circ$

QUESTION 5

Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，边长 $a, b, c$ 满足 $AC=6, BC=8, AB=10$。该三角形的内切圆半径 $r$ 为：